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| このページについて |
概要:このページでは、数学ソフトMathematicaで線形代数学する方法を解説します。ベクトル，行列演算についての解説です．
親ページ:このページの親ページはMathematicaです。
| 目次 |
a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
とすれば，aの中にベクトルを格納できます．
a*2
とすれば，ベクトルaを2倍してくれます．
b = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
と定義しておき，
a + b
とかやれば，
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
と返します．
a.b
とすれば，ベクトルの内積
55
が求まりまります．
ベクトルaの長さは，
Sqrt[a.a]
で求めることが出来るし， ベクトルaとベクトルbの距離は，
Sqrt[(a - b).(a - b)]
で求めることが出来ます．
ここでいったん，
Clear[a, b]
で，定義しておいたオブジェクトを消去しておきます．
1次独立（線形独立）か1次従属（線形従属）かを調べることも出来ます． 例えば，
a = {3, 7, 3, 2}
b = {2, -4, -1, 4}
c = {2, 5, 6, 3}
が1次独立かどうか調べよう．
Solve[{k1*a + k2 *b + k3*c == 0}, {k1, k2, k3}]
の解が(k1,k2,k3)=(0,0,0)のみならば線形独立である．実際に計算してみると，
{{k1 -> 0, k2 -> 0, k3 -> 0}}
となるので，線形独立である．
ふたたび
Clear[a, b, c]
でa,b,cというオブジェクトをクリアしておく．もう一つの例．
a = {2, -5, 2, 4}
b = {1, -1, 1, 2}
c = {5, 2, -1, 7}
d = {4, 1, 4, 8}
と定義し，このベクトルが線形独立かどうか調べよう．
Solve[{k1*a + k2 *b + k3*c + k4*d == 0}, {k1, k2, k3, k4}]
とすれば，(k1,k2,k3,k4)=(0,0,0,0)以外の解が無数にあることが分かるので，線形従属である．
Mathematicaでは，行列はリストのリストとして扱われる．例えば，
A = {{1, 2}, {3, 4}}
などで，行列Aが定義される． 行列形式で表示させたい場合，
MatrixForm[A]
とする．
Dimensions[A]
で行列Aの次元を教えてくれる． 行列の足し算は，ベクトルのそれと基本的に同じ．
5*A
とかすれば5倍してくれる．
B = {{10, 20}, {30, 40}}
と定義しておいて，
A * B
とすれば，それぞれの成分同士を掛け合わせる．
行列の掛け算は，
A.B
とやる．
4次元の単位行列は，
I1 = IdentityMatrix[4]
とすれば作れる．
(1,2,3,4)を対角成分にもち，その他がすべて0の行列は，
DiagonalMatrix[{1, 2, 3, 4, 5}]
で作れる．
転置行列は
Transpose[A]
などとする．
トレースは，
Tr[A]
などとする．
行列式は
Det[A]
とする．
逆行列は
Inverse[A]
とする．
固有値は，
Eigenvalues[A]
固有ベクトルは，
Eigenvectors[A]
で計算する．
ランクは，
MatrixRank[A]
とする．
さきほどの，線形従属だったベクトル
a = {2, -5, 2, 4}
b = {1, -1, 1, 2}
c = {5, 2, -1, 7}
d = {4, 1, 4, 8}
を再度定義しよう．
Amat = {a, b, c, d}
と定義して，Amatのランクを調べると，
MatrixRank[Amat]
とすると，
3
と返ってくる．線形従属なので，ショートランクになっていることが確認された．
